タイトルの現象について一応は解決しました。解決したのですが、うまく行かなかった原因も、うまく行った理由もよく分かっていません。
確認したことを簡単にまとめておきます。

スクリプトの内容

• テキストデータを処理するスクリプト
• 中間ファイル、実行の様子を確認できるログファイルを書き出す

動かない状況

• 他のスクリプト（同じものを３個登録）の実行実績がある環境
• コマンドラインから「./script.sh」だと動く
• コマンドラインから「/path/to/script.sh」だと動く
• cronだと動かない
• 登録当初は「chmod 744」だったのを「755」に変更。
• コマンドラインでbashのパス補完で確認した「/path/to/script.sh」のコピペもダメ

確認したこと

• croneventsでは実行した様子がログとして出力されない
• /var/log/cron.logで見ると「/path/to/script.sh」があることは認識している
  • 起動時に「-x ext,sch,proc,pars,load,misc」を指定しています

解決した方法

• 最終行にあった「/path/to/script.sh」を先頭行に移動したら動いた

備考

なんで、この方法で動いたのか不明。途中で「chmod 755」に変更したのがポイントで、この変更状況がcronに認識されていなかったのかもしれない。しばらく様子見。